2020年 センター試験 数学II・B 第二問
第二問はいつもおなじみ微分積分です。やっていることは教科書の章末問題＋αくらいですが、計算量が多いです。センター試験は計算力を試しているテストなのかもしれない。また、(2)と(3)の関係に気づき、誘導に乗れたどうかが大きなポイント。
(1)
Cの放物線y=x^2+2x+1の接線は接線の公式より、
y-(t^2+2t+1)=(2t+2)(x-t)となる。これを計算すると、y=2(t+1)x-t^2+1・・①
次に、Dの放物線y=x^2-(4a-2)x+4a^2+1の接線の方程式は
y-(s^2-(4a-2)s+4a^2+1)=(2s-(4a-2))(x-s)となる。
これを計算すると、y=2(s-2a+1)x-s^2+4a^2+1・・②
①と②は同じ式なので、傾きの部分とy切片に関するところで次の関係が成り立つ。
s-2a+1=t+1・・③、-t^2+1=-s^2+4a^2+1・・④
この③と④の連立方程式を解くと、s=2a,t=0となる。
これを①に代入すると接線lが求められる。lの式はy=2x+1である。
(2)y=x^2+2x+1とy=x^2-(4a-2)x+4a^2+1の連立方程式を解けば良い。答えはx=a
接線lと放物線Cはx=0で接する。接線lよりも放物線Cの方が上にある位置関係である。よって、S=∫[(x^2+2x+1)-2x-1]dx=∫x^2dx=[(x^3)/3]=(a^3)/3になる。
(3)放物線Dは放物線Cより右上にあり、接線lと放物線Dは放物線Dの右側で接する感じである。この位置関係で、面積が変化しないのは放物線Cと放物線Dの交点が今考えている定義域0≦x≦1に入らない状態になるときである。
よって(2)の答えを利用し、a>1の時に面積が一定になり、その値は1/3である。
次に求めたい図形は、定義域0≦x≦aの時、放物線Cと接線lに囲まれた図形で、定義域a≦x≦1の時放物線Dと接線lに囲まれた図形である。よって、面積は
∫[(x^2+2x+1)-2x-1]dx+∫[(x^2-2(2a-1)x+4a^2+1)-2x-1]dx これを正しく計算すると、
=-2a^3+4a^2-2a+1/3
(4)U=2T-3S=-5a^3+8a^2-4a+2/3・・⑥
これをaに関して、微分して計算する。
U'=-15a^2+16a-4
U'=0として計算すると、a=2/5,2/3となる。今、a≧1/2なので、a=2/3となる。
これを⑥に代入して計算すると2/27となる。
センター入試 2020 数学II・B 第1問 【2】
【2】教科書の章末問題にありそうな問題。教科書の問題は重要ですね。
t^1/3-t^-1/3=-3・・①
①を二乗して計算する。すると次になる。
t^2/3-2*(t^1/3)*(t^-1/3)+t^-2/3=9
t^2/3-2+t^-2/3=9
t^2/3+t^-2/3=11・・②
次に、t^1/3+t^-1/3の値を求める。この式を二乗し計算をする。
(t^1/3+t^-1/3)^2
=t^2/3+2*(t^1/3)*(t^-1/3)+t^-2/3
=11+2(②を利用し、計算をした。)
=13
よって、求める答えは√13である。
t-t^-1を計算するためには、①を３乗する。すると、
(t^1/3-t^-1/3)^3
=t-3*(t^2/3)*(t^-1/3)+3*(t^1/3)*(t^-2/3)-t^(-1)
=t-3(t^1/3-t^-1/3)-t^(-1)
=t-t^(-1)+9・・④
④は－27に等しいので、
t-t^(-1)= -36になる。
(2)これも教科書にありそうな問題。
log(3)(xy^1/2)≦5
これを和の形に直してやると、
log(3)x+1/2*log(3)y≦5
よって、2X+Y≦10になる。
log(81)(y/x^3)≦1
これも和の形に直すが、こちらは底が81なので、底の変換を使い、底を3に変換する必要がある。
log(81)y-3log(81)x≦1
log(81)y=log(3)y/log(3)81=log(3)y/log(3)3^4=log(3)y/4
同様にしてlog(81)x=log(3)x/4になり、不等式は次の形になる。
log(3)y-3*log(3)x≦4 よって、3X-Y≧－4になる。
求められた二つの不等式を解くと、0<X≦5,0<Y≦38/5になる。
一番大きいYの整数値は38/5の整数部分の7である。
この時のXの値は二つ考えられる。
Y=7とY=-2X+10の交点のX＝3/2とY=7とX=3X+4の交点のX=1である。
xが大きくなるのはX=3/2の時で、log(3)x≦3/2を満たす時で、x≦3√３になる。
よって、この範囲で一番大きい整数は5になる。
センター試験 2020度 数学II・B 第一問【1】
最近、センター入試の数学を解いていないからかもしれないが、こんな問題でたっけという感じの問題があった印象がある。
【1】(1)
三角関数が絡んだ不等式問題。
まず、加法定理を使い展開する。
√3cos(θ-π/3)=√3(cosθcosπ/3+sinθsinπ/3)
=√3/2cosθ+3/2sinθ
よって、問題の式は次になる。
sinθ>√3/2cosθ+3/2sinθ
0>1/2sinθ+√3/2cosθ
0>sinθ+√3cosθ
上の式を三角関数の合成を使うと次になる。
0>sin(θ+π/3)
sinxは0より小さい定義域はπ<x<2πなので、
π<θ+π/3<2π
2/3π<θ<5/3π になる。
(2)
いつも出題されている問題だけど、切り口が違う気がするのは最近問題を解いていない私だけでしょうか。
25x^2-35x+k=0
x^2-7x/5+k/25=0
二次方程式の解と係数の関係から、
sinθ+cosθ=7/5・・・①
sinθcosθ=k/25・・・②
①式を二乗し、②を利用すると次のようになる。
sinθ^2+2sinθcosθ+cos^2=49/25
1+2*k/25=49/25
計算すると、k=12。この値を元の方程式に代入すると、次になる。
25x^2-35x+12=0
(5x-3)(5x-4)=0
x=3/5,4/5
sinθ≧cosθより、sinθ=4/5,cosθ=3/5
sinθ=4/5=0.8なので、sinπ/4=√2/2=0.7..より、θはπ/4より大きい事が分かる。
また、sinπ/3=√3/2=0.85..なので、θはπ/3より小さい。よって、求める範囲は③である
