センター入試 2020 数学II・B 第1問 【2】

【2】教科書の章末問題にありそうな問題。教科書の問題は重要ですね。

         t^1/3-t^-1/3=-3・・①

①を二乗して計算する。すると次になる。

　　  t^2/3-2*(t^1/3)*(t^-1/3)+t^-2/3=9

         t^2/3-2+t^-2/3=9

         t^2/3+t^-2/3=11・・②

次に、t^1/3+t^-1/3の値を求める。この式を二乗し計算をする。

　     (t^1/3+t^-1/3)^2

        =t^2/3+2*(t^1/3)*(t^-1/3)+t^-2/3

        =11+2(②を利用し、計算をした。)

        =13

よって、求める答えは√13である。

t-t^-1を計算するためには、①を３乗する。すると、

        (t^1/3-t^-1/3)^3

        =t-3*(t^2/3)*(t^-1/3)+3*(t^1/3)*(t^-2/3)-t^(-1)

        =t-3(t^1/3-t^-1/3)-t^(-1)

        =t-t^(-1)+9・・④

④は－27に等しいので、

        t-t^(-1)= -36になる。

(2)これも教科書にありそうな問題。

      log(3)(xy^1/2)≦5

これを和の形に直してやると、

     log(3)x+1/2*log(3)y≦5

よって、2X+Y≦10になる。

      log(81)(y/x^3)≦1

これも和の形に直すが、こちらは底が81なので、底の変換を使い、底を3に変換する必要がある。

      log(81)y-3log(81)x≦1

      log(81)y=log(3)y/log(3)81=log(3)y/log(3)3^4=log(3)y/4

同様にしてlog(81)x=log(3)x/4になり、不等式は次の形になる。

      log(3)y-3*log(3)x≦4　よって、3X-Y≧－4になる。

求められた二つの不等式を解くと、0<X≦5,0<Y≦38/5になる。

一番大きいYの整数値は38/5の整数部分の7である。

この時のXの値は二つ考えられる。

Y=7とY=-2X+10の交点のX＝3/2とY=7とX=3X+4の交点のX=1である。

xが大きくなるのはX=3/2の時で、log(3)x≦3/2を満たす時で、x≦3√３になる。

よって、この範囲で一番大きい整数は5になる。