センター試験 2020度 数学II・B 第一問【1】

最近、センター入試の数学を解いていないからかもしれないが、こんな問題でたっけという感じの問題があった印象がある。

【1】(1)

三角関数が絡んだ不等式問題。

まず、加法定理を使い展開する。

                  √3cos(θ-π/3)=√3(cosθcosπ/3+sinθsinπ/3)

　　　　     =√3/2cosθ+3/2sinθ

よって、問題の式は次になる。

                   sinθ>√3/2cosθ+3/2sinθ

                   0>1/2sinθ+√3/2cosθ

                   0>sinθ+√3cosθ

上の式を三角関数の合成を使うと次になる。

　　　　　 0>sin(θ+π/3)

sinxは0より小さい定義域はπ<x<2πなので、

　　　　　 π<θ+π/3<2π

　　　　     2/3π<θ<5/3π になる。

(2)

いつも出題されている問題だけど、切り口が違う気がするのは最近問題を解いていない私だけでしょうか。

                 25x^2-35x+k=0

                 x^2-7x/5+k/25=0

 二次方程式の解と係数の関係から、

                 sinθ+cosθ=7/5・・・①

　　　　   sinθcosθ=k/25・・・②

①式を二乗し、②を利用すると次のようになる。

　　　     sinθ^2+2sinθcosθ+cos^2=49/25

                1+2*k/25=49/25

計算すると、k=12。この値を元の方程式に代入すると、次になる。

　　　      25x^2-35x+12=0

                 (5x-3)(5x-4)=0

                  x=3/5,4/5

                 sinθ≧cosθより、sinθ=4/5,cosθ=3/5

sinθ=4/5=0.8なので、sinπ/4=√2/2=0.7..より、θはπ/4より大きい事が分かる。

また、sinπ/3=√3/2=0.85..なので、θはπ/3より小さい。よって、求める範囲は③である