センター試験 2020 数学II・B 第三問
いつもおなじみの数列です。センターの数列といえば無駄にごつく、計算が多い。
こんなの教科書の問題にないでしょみたいな長い漸化式が良くでる。
(1)漸化式にn=1を代入して計算する、答えは6。
(2),(3) a_1=0より、b_1=0である。
a_n+1=(n+3/n+1)*(3a_n+3^(n+1)-(n+1)(n+2)) この両辺を3^(n+1)*(n+2)(n+3)で割ると、次になる。
a_n+1/(3^(n+1)*(n+2)(n+3))=(1/(n+1)(n+2))*(a_n/(3^n)+1-(n+1)(n+2)/3^(n+1))
=a_n/(3^n)*(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)-1/3^(n+1)･･･①
①をb_nに置き換えて整理をすると、次になる。
b_n+1=b_n+1/(n+1)(n+2)-1/3^(n+1)
b_n+1-b_n=(1/(n+1)-1/(n+2))-(1/3)^(n+1)･･･②
②の両辺の和をとり、b_nの一般校を求める。②の左辺は次になる。
Σ(b_k+1-b_k)=(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+...+(b_n-b_n-1)=b_n-b_1
次に②の右辺は次のようになる。
Σ(1/(k+1)-1/(k+2))-Σ(1/3)^(k+1)
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n)-1/(n+1))-1/9Σ(1/3)^k-1
=(1/2-1/(n+1))-1/9*3/2*(1-(1/3)^(n-1))
=1/2**1-1/6*(1-(1/3)^(n-1))
=*2-(1/2)*(1/3)^n･･･③
b_nの一般項は③になる。これに、(3^n)*(n+1)(n+2)をかけるとa_nが求められる。
b_n*(3^n)*(n+1)(n+2)
=(3^(n-1))*(n-2)(n+2)-(n+1)(n+2)/2
=(3^(n-1))*((n^2)-4)-(n+1)(n+2)/2･･･④
④がa_nの一般項になる。
(4)④式より、前半の項は3の倍数になることが分かるので、(n+1)(n+2)/2が3で割り切れるかどうかを調べる必要がある。ここで、nが3で割り切れないとする。すると、n+1、n+2のどちらかは必ず3の倍数になる。よって、④の値は3で割り切れる。nが3で割り切れる時、n+1とn+2は必ず3の倍数でない偶数になる。よって、このとき④式は3で割ると必ず1余る。よって、答えは1，0，0となる。
a_nをn=2020まで加算した結果を3で割ったものは2020を3で割り、3の倍数がいくつ含まれているかを求め、それをさらに3で割ったものが答えになる。計算すると、673あまり1となり、673を3で割ると224あまり1となる。よって、答えは1になる。
