センター試験 2020 数学II・B 第四問
第四問はベクトル。今回の中でたぶん、一番点取り問題かも。内容は基本問題中心。なんでこれを最後に出すかね。最初にあれば受験生も安心して問題に取りかかれるのに。
(1)
|OA|=(3^2+3^2+(-6)^2)^1/2=3√6
|OB|=((2+2√3)^2+(2-2√3)^2+(-4)^2)^1/2=4√3
OA･OB=3(2+2√3)+3(2-2√3)+(-6)*(-4)=36
(2)
OA⊥OCより内積が0となるので、
OC･OA=(sOA+tOB)･OA=s|OA|^2+tOA･OB=54s+36t=0より、
3s+2t=0･･･①
OB･OC=24なので計算すると、
OB･OC=OB･(sOA+tOB)=sOA･OB+t|OB|^2=36s+48t=24より、
3s+4t=2･･･②
①と②を連立して方程式を解くと、s=-2/3,t=1になる。
(3)
(2)の結果から、OC=(2√3,-2√3,0)ベクトルと分かる。よって、CBベクトルは
CB=OB-OC=(2+2√3-2√3,2-2√3+2√3,-4)=(2,2,-4)
CBベクトルとOAベクトルが平行で、対辺の長さが異なるので、OABCは台形。
よって、③が選ぶ答え。
OA⊥OCより、四角形OABCはOAとCBが上底と下底になり、高さがOCになる。面積は
S=(3√6+2√6)*2√6*1/2=30
(4)
求めるODベクトルを(x,y,z)とする。
OA⊥OD、OC･OD=2√6なので、
OA･OD=3x+3y-6z=0, OC･OD=2√3x-2√3y=2√6 また、z=1なので
x+y=2･･③ x-y=√2･･④
③と④を連立して解けば、x=1+√2/2、y=1-√2/2となる。ここで、|OD|を計算すると
|OD|=((1+√2/2)^2+(1-√2/2)^2+1^2)^1/2=2
2√6=|OC|･|OD|cos∠CODなので、cos∠COD=1/2なる。よって、∠CODは60°。また、
∠DCOは90°になるので、△OCDは30°、60°、90°の直角三角形。ODが2なので、高さとなるDCは√3になる。
△CABの面積を求める。CAベクトルとCBベクトルの内積から、cos∠ACBを求めると、
cos∠ACB=3/√13になる。これからsin∠ACBを求めて、sin∠ACB=2/√13。よって面積は
△ACB=2√6*√78*(2/√13)*1/2=12
よって、四角錐DABCの体積は
V=12*√3*1/3=4√3
