微分とは何か。 - 文才がない人のぶろぐ

よく親父が微分なんて何のやくに立つんだとか言っていた。まあ、日常生活で微分したいなとか、微分について思いをはせる人はそうそういないだろう。多くの人がきっと微分は聞いたことはあるけど、何してるかわからないものだろう。

私もたいして理解してない。だが、ちょっと説明もしてみたい。

微分とは瞬間の変化率である。

あるいは、中学の変化の割合の瞬間バージョン。

変化の割合とは(yの増加量)/(xの増加量)のこと。例を挙げてみる。

定義域1≦x≦3での、y=2x+3の変化の割合aは

$a=(2×3+3-2×1+3)/(3-1)=2$ になる。そう一次関数では傾きと変化の割合は同じになる。

では、二次関数 $y=x^2$ ではどうだろうか。(定義域は同じ)変化の割合 $a$ は

$a=(3^2-1^2)/(3-1)=4$ となる。

同様に、定義域を1≦x≦3/2と1≦x≦11/10と1≦x≦101/100でやってみる。すると、

$y=2x+3$ の場合は同様に2。 $y=x^2$ の場合は2.5と2.1と2.01。 $y=x^2$ も区間を小さくすると、変化の割合が2に近くなる。

じゃあ、仮に定義域を限りなく1に近くするとどうなるか。これが微分です。

$f(1)'=\ \lim_{h \to 0} \begin{equation} \frac{f(1+h)-f(h)}{h} \end{equation} \$

limの中にある式の分子がyの増加量、分母がxの増加量を示しています。このように微分は一点での関数の変化の割合を示しているのです。

定義に従うと $y=2x+3$ と $y=x^2$ の $f(1)'$ は2になります。

でも、何がそんなに嬉しいのでしょうか。

それは微分が出来るとその関数の形状を知ることができます。微分した数式が常に正なら、変化の割合が正となり、増加していることがわかるからです。また、微分した数式が最初は負（減少）で、ある点から正（増加）になる場合、その関数の形状は最小点をもつことが分かります。これが非常に重要です。なぜなら、ものを作るときなどは費用を最小にしたり、長さを最小にしたり、強度を最大にしたりなどに関心があり、このような事に応用が出来るようになるからです。

微分は物理学、建築、電気工学、経済学などにはなくてはならない存在なのです。