文才がない人のぶろぐ

思ったこと・興味あることを適当に書いています。

自分の受験勉強

その他

大学受験の数学を解いていると自分の現役の受験生だった頃を思い出す。なんとなくその頃のことを勢いに任せて書いてみたい。

私は高校時代は理系で、数学・物理は好きであったが、それ以外はクラスで中より下くらいだった。ちなみに偏差値は55くらいの学校だった。

好きでないことをやるのも苦痛だったので、「数学とか物理だけでいけそうな大学に進学しよう。」と決めていた。しかし現実は厳しいもので、必ず英語という科目が付きまとった。でも私は、英語でそもそも得点を取れる気がさらさらしなかったので、何も勉強をせずに、数学と物理ばかり解いた。

結局、国立の理系大学とセンター併願で私立の経済学部に引っかかった。

これは受験勉強としては間違っていたと確信しているが、好きな数学と物理をたくさん解く事が出来て楽しい時間だったなと納得している。

方法論や結果も大事だと思うが、結局自分が納得できるかどうかが一番大事だと思う。

文字式の計算

中学数学

中学校になると算数が数学に変わりますよね。

何がそんなに違うのかって言うと、厳密にはいろいろ指摘出来ることがあると思うのですがやはり一番大きいのは文字の利用ではないでしょうか。

実際、文字式の計算・利用から結構困っている同級生は沢山いました。（もちろん、私もこまっていましたが。）

数学嫌いの父親はよく「100円の鉛筆をx本買った時の代金は100x円になる」の100x円ってなんだよと言っていました。

結局、文字式の利用は数学における抽象化の始まりだと思います。具体的なものを列挙していくことから一般化で表現できる事への移行いいますか・・・。

自分でも何言っているかよく分からなくなってきました。さて、前置きはこんなところで文字式の計算をしていきます。

規則１ { \displaystyle ax+by-cx+dy=(a-c)x+(b+d)y}

規則２ { \displaystyle a(bx+cy)=abx+acy }

規則３ { \displaystyle x^mx^n=x^{m+n} , (x^m)^n=x^{mn} }

規則４ { \displaystyle \begin{equation} \frac {1}{x^m}x^n = \frac {1}{x^{m-n}} \end{equation}}

規則５ { \displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 }

とこんな感じで、中学校で使う公式みたいなものを書き出してみました。規則５とかは展開公式です。中学校3年で嫌になるほどみると思います。また別の機会に詳しくかけたらいいなと思います。

これを使って計算していきます。

{ \displaystyle 3x+4y-2x+5y=x+9y }
{ \displaystyle 3x(4x+5y)=12x^2+15xy }
{ \displaystyle \begin{equation} \frac {27x^3y^5}{4xy^2} × \frac {2x}{9y^6} = \frac {3x^3}{2y^3} \end{equation}}
{ \displaystyle (x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2　}
{ \displaystyle \begin{equation} \frac {3x-2y}{2} - \frac{x+2y}{3} = \frac {(9x-6y)-(2x+4y)}{6} = \frac {7x-10y}{6} \end{equation}}

こんな感じに計算出来ます。

中学校で習う数学の計算はたぶんこんな感じ。後は計算練習を沢山するのみ。

お久しぶりです。

その他

読んでいる人がいるかどうか分かりませんが、とりあえずお久しぶりです。

コロナ感染症で社会に影響が出ていますね。

いろいろと大変だと思います。

 

さて、趣味の数学とか経済学とかその辺の話をまた適当に書いていく予定です。

理解度は低いので正確ではないかもしれませんがすみません。

1月にセンター試験の数学を解いたので今度は違う大学の問題を解いて行こうかなとも思っています。

あとは本の紹介とかもしたいと思っていますが未定です。

 

ソフトとハード

その他

ハードウェアとソフトウェアの違いを知っているだろうか。皆聞いたことはあることを自分で説明しようとするとなかなか難しい。少なくとも僕はそう思っている。

ハードウェアは、何かを動かしたりするために必要なものそのものである。パソコンでいえばのディスプレイ、マウス、基盤回路などである。

ソフトウェアはハードウェアを土台として動くプログラムである。パソコンでいえば、OSとかEXCEL、WORDとかである。

この2つの関係は電化製品だけではないと思う。例えば通貨。これのハードウェアは紙幣そのもの。ソフトウェアはその紙切れを価値のあるものだと皆が思う仕組みのこと。

ハードウェアとソフトウェアはどちらか一方だけが優れていても一つの良いシステムにはならない。すごくキレイに映るけど何も出来ないPC、起動に1日かかるけど便利なアプリケーションが入っている携帯電話、皆が信用してないけど絶対に盗まれないお金とか。

話が飛躍しているかもしれないけど、物事の本質の一つはこのバランス関係があるとよく思っている。

微分とは何か。

大学受験　数学

よく親父が微分なんて何のやくに立つんだとか言っていた。まあ、日常生活で微分したいなとか、微分について思いをはせる人はそうそういないだろう。多くの人がきっと微分は聞いたことはあるけど、何してるかわからないものだろう。

私もたいして理解してない。だが、ちょっと説明もしてみたい。

微分とは瞬間の変化率である。

あるいは、中学の変化の割合の瞬間バージョン。

変化の割合とは(yの増加量)/(xの増加量)のこと。例を挙げてみる。

定義域1≦x≦3での、y=2x+3の変化の割合aは

{ \displaystyle a=(2×3+3-2×1+3)/(3-1)=2 }になる。そう一次関数では傾きと変化の割合は同じになる。

では、二次関数 { \displaystyle y=x^2 } ではどうだろうか。(定義域は同じ)変化の割合{\displaystyle a }は

{\displaystyle a=(3^2-1^2)/(3-1)=4 }となる。

同様に、定義域を1≦x≦3/2と1≦x≦11/10と1≦x≦101/100でやってみる。すると、

{\displaystyle y=2x+3 }の場合は同様に2。 {\displaystyle y=x^2 }の場合は2.5と2.1と2.01。 {\displaystyle y=x^2 }も区間を小さくすると、変化の割合が2に近くなる。

じゃあ、仮に定義域を限りなく1に近くするとどうなるか。これが微分です。

{\displaystyle f(1)'=\ \lim_{h \to 0} \begin{equation} \frac{f(1+h)-f(h)}{h} \end{equation} \ }

limの中にある式の分子がyの増加量、分母がxの増加量を示しています。このように微分は一点での関数の変化の割合を示しているのです。

定義に従うと {\displaystyle y=2x+3 }と {\displaystyle y=x^2 }の {\displaystyle f(1)' }は2になります。

でも、何がそんなに嬉しいのでしょうか。

それは微分が出来るとその関数の形状を知ることができます。微分した数式が常に正なら、変化の割合が正となり、増加していることがわかるからです。また、微分した数式が最初は負（減少）で、ある点から正（増加）になる場合、その関数の形状は最小点をもつことが分かります。これが非常に重要です。なぜなら、ものを作るときなどは費用を最小にしたり、長さを最小にしたり、強度を最大にしたりなどに関心があり、このような事に応用が出来るようになるからです。

微分は物理学、建築、電気工学、経済学などにはなくてはならない存在なのです。

センター試験　2020　数学II・B　第四問

大学受験　数学

第四問はベクトル。今回の中でたぶん、一番点取り問題かも。内容は基本問題中心。なんでこれを最後に出すかね。最初にあれば受験生も安心して問題に取りかかれるのに。

(1)

         |OA|=(3^2+3^2+(-6)^2)^1/2=3√6 

         |OB|=((2+2√3)^2+(2-2√3)^2+(-4)^2)^1/2=4√3

         OA･OB=3(2+2√3)+3(2-2√3)+(-6)*(-4)=36

(2)

OA⊥OCより内積が0となるので、

        OC･OA=(sOA+tOB)･OA=s|OA|^2+tOA･OB=54s+36t=0より、

　　 3s+2t=0･･･①

OB･OC=24なので計算すると、

　　 OB･OC=OB･(sOA+tOB)=sOA･OB+t|OB|^2=36s+48t=24より、

        3s+4t=2･･･②

①と②を連立して方程式を解くと、s=-2/3,t=1になる。

(3)

(2)の結果から、OC=(2√3,-2√3,0)ベクトルと分かる。よって、CBベクトルは

         CB=OB-OC=(2+2√3-2√3,2-2√3+2√3,-4)=(2,2,-4)

CBベクトルとOAベクトルが平行で、対辺の長さが異なるので、OABCは台形。

よって、③が選ぶ答え。

OA⊥OCより、四角形OABCはOAとCBが上底と下底になり、高さがOCになる。面積は

           S=(3√6+2√6)*2√6*1/2=30

(4)

求めるODベクトルを(x,y,z)とする。

OA⊥OD、OC･OD=2√6なので、

           OA･OD=3x+3y-6z=0,   OC･OD=2√3x-2√3y=2√6　また、z=1なので

           x+y=2･･③ x-y=√2･･④ 

③と④を連立して解けば、x=1+√2/2、y=1-√2/2となる。ここで、|OD|を計算すると

           |OD|=((1+√2/2)^2+(1-√2/2)^2+1^2)^1/2=2

内積からcos∠CODを求める。

 2√6=|OC|･|OD|cos∠CODなので、cos∠COD=1/2なる。よって、∠CODは60°。また、

∠DCOは90°になるので、△OCDは30°、60°、90°の直角三角形。ODが2なので、高さとなるDCは√3になる。

△CABの面積を求める。CAベクトルとCBベクトルの内積から、cos∠ACBを求めると、

cos∠ACB=3/√13になる。これからsin∠ACBを求めて、sin∠ACB=2/√13。よって面積は

　　△ACB=2√6*√78*(2/√13)*1/2=12

よって、四角錐DABCの体積は

       V=12*√3*1/3=4√3

 

 

　　 

 

センター試験　2020　数学II・B　第三問

大学受験　数学

いつもおなじみの数列です。センターの数列といえば無駄にごつく、計算が多い。

こんなの教科書の問題にないでしょみたいな長い漸化式が良くでる。

(1)漸化式にn=1を代入して計算する、答えは6。

(2),(3) a_1=0より、b_1=0である。

         a_n+1=(n+3/n+1)*(3a_n+3^(n+1)-(n+1)(n+2))　この両辺を3^(n+1)*(n+2)(n+3)で割ると、次になる。

         a_n+1/(3^(n+1)*(n+2)(n+3))=(1/(n+1)(n+2))*(a_n/(3^n)+1-(n+1)(n+2)/3^(n+1))

                                                     =a_n/(3^n)*(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)-1/3^(n+1)･･･①

①をb_nに置き換えて整理をすると、次になる。

        b_n+1=b_n+1/(n+1)(n+2)-1/3^(n+1)

        b_n+1-b_n=(1/(n+1)-1/(n+2))-(1/3)^(n+1)･･･②

②の両辺の和をとり、b_nの一般校を求める。②の左辺は次になる。 

        Σ(b_k+1-b_k)=(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+...+(b_n-b_n-1)=b_n-b_1

次に②の右辺は次のようになる。

        Σ(1/(k+1)-1/(k+2))-Σ(1/3)^(k+1)

       =(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n)-1/(n+1))-1/9Σ(1/3)^k-1

       =(1/2-1/(n+1))-1/9*3/2*(1-(1/3)^(n-1))

       =1/2**1-1/6*(1-(1/3)^(n-1))

       =*2-(1/2)*(1/3)^n･･･③

b_nの一般項は③になる。これに、(3^n)*(n+1)(n+2)をかけるとa_nが求められる。

       b_n*(3^n)*(n+1)(n+2)

       =(3^(n-1))*(n-2)(n+2)-(n+1)(n+2)/2

       =(3^(n-1))*((n^2)-4)-(n+1)(n+2)/2･･･④

④がa_nの一般項になる。

(4)④式より、前半の項は3の倍数になることが分かるので、(n+1)(n+2)/2が3で割り切れるかどうかを調べる必要がある。ここで、nが3で割り切れないとする。すると、n+1、n+2のどちらかは必ず3の倍数になる。よって、④の値は3で割り切れる。nが3で割り切れる時、n+1とn+2は必ず3の倍数でない偶数になる。よって、このとき④式は3で割ると必ず1余る。よって、答えは1，0，0となる。

a_nをn=2020まで加算した結果を3で割ったものは2020を3で割り、3の倍数がいくつ含まれているかを求め、それをさらに3で割ったものが答えになる。計算すると、673あまり1となり、673を3で割ると224あまり1となる。よって、答えは1になる。

　　

 

         

*1:n-1)/(n+1

*2:n-2)/3(n+1